Exercício 4

Avalie a convergência das séries sumn=1^infty (-1)^nn ln n e sumn=0^infty (-1)^n(n-10,5)^2.

Passo 1

Neste exercício temos duas séries alternantes e vamos usar principalmente o teste de Leibniz (para séries alternantes) e teste de convergência absoluta (comparação e teste da integral).

Passo 2

Para a série sumn=1^infty (-1)^nnln n (observação: o termo n=1 não está definido, então a partir de agora consideramos n>=2): definimos an=1nln n. Primeiro, an>0, limntoinftyan=0 pois nln ntoinfty, e também an é monótona decrescente para n>=2. Pelo teste de Leibniz, a série converge.

Passo 3

Para ver se é convergão absoluta, analisamos sumn=2^infty1nln n. Usando o teste da integral temos
integral2^Ndxxln x=ln(ln N)-ln(ln2),
que tende a +infty quando Ntoinfty. Logo sum1/(nln n) diverge e a convergência é apenas condicional.

Passo 4

Para a série sumn=0^infty (-1)^n(n-10,5)^2 note que l|(n-10,5)^-2r|=1/(n-10,5)^2 comporta-se como 1/n^2. Sabemos que sum1/n^2 converge (série p com p=2>1), então por comparação absoluta a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A primeira série converge condicionalmente (teste de Leibniz, não é absolutamente convergente). A segunda converge absolutamente (comparação com série p de p=2) e, logo, converge.

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