Encontre a Série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
f(x)=e^4-x

Passo 1

O exercício pede pra gente encontrar a série de Maclaurin da função f(x)=e^4-x. O conteúdo é expansão em série de Taylor em torno de x=0, e vamos precisar da série conhecida de e^u.

Passo 2

O truque é reescrever f(x) como e^4 vezes e^-x. Lembrando que para qualquer u vale
e^u = sumn=0^infty u^nn!
Aqui fazemos u=-x, então
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^nn!

Passo 3

Basta multiplicar essa série por e^4. Assim obtemos
f(x) = e^4-x = e^4 ;e^-x = e^4 sumn=0^infty (-1)^n x^nn!
Se quiser, dá até pra escrever os primeiros termos:
e^4l(1 - x + tfracx^22! - tfracx^33! + cdotsr)

Resposta

f(x)=e^4sumn=0^infty(-1)^n,x^nn!

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