Calcule a integral integral e^2 x(e^x+1)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^2x(e^x+1)^2,dx. Esse conteúdo envolve técnicas de integração por substituição, pois temos uma função composta de exponencial dentro de outra função racional.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = e^x + 1. Então du = e^x,dx. Precisamos reescrever e^2x,dx em função de u e du.
Note que e^2x = e^x cdot e^x. Com a substituição, um fator e^x,dx vira du e o outro e^x é u - 1 (pois e^x = u - 1). Assim a integral fica
integral e^2x(e^x+1)^2,dx = integral (u-1)u^2,du

Passo 3

Agora separamos em duas frações:
integral u-1u^2,du = integral l(1u - 1u^2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo usando integral u^-1,du = ln|u| + C e integral u^-2,du = -u^-1 + C:
integral 1u,du = ln|u|, integral l(-u^-2r),du = +u^-1

Passo 5

Somando, obtemos
ln|u| + 1u + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x com u = e^x+1.

Resposta

lnl(e^x+1r) + 1e^x+1 + C

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