Dado o potencial elétrico V(r)=-14 pi varepsilon0 qr obtenha nabla cdot(nabla V)

Passo 1

O enunciado pede para calcular nablacdot(nabla V) para o potencial elétrico V(r)=-14pivarepsilon0qr. O conteúdo envolvido é o laplaciano de uma função radial em coordenadas esféricas, e vamos usar a expressão do laplaciano em simetria esférica.

Passo 2

Para uma função que depende só de r, o laplaciano é dado por
nabla^2f(r)=1r^2ddrl(r^2dfdrr)

Passo 3

Aplicando em V(r)=-dfracq4pivarepsilon0,r^-1: calculamos
dVdr=q4pivarepsilon0,r^-2,
então
r^2dVdr=q4pivarepsilon0,
e
ddrl(r^2dVdrr)=0
Logo nabla^2V=0 para rneq0.

Passo 4

Como o potencial é singular em r=0, usamos a identidade de distribuições
nabla^21r=-4pide
Assim
nabla^2V=-q4pivarepsilon0nabla^21r=qvarepsilon0,de

Resposta

Em rneq0, nablacdot(nabla V)=0. Em sentido de distribuições, nablacdot(nabla V)=dfracqvarepsilon0,de.

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