Dada a função vetorial, obtenha o seu rotacional.
E=(x^2+y^2) i+(x^2+y^2) j

Passo 1

Temos o campo vetorial E = (x^2 + y^2)i + (x^2 + y^2)j. O conteúdo da matéria é o rotacional (ou curl) de um campo vetorial em coordenadas cartesianas, e vamos precisar usar a definição de rotacional em R³.

Passo 2

Primeiro estendemos o campo para R³ atribuindo componente nula em k. Logo, definimos
P(x,y,z) = x^2 + y^2,
Q(x,y,z) = x^2 + y^2,
R(x,y,z) = 0

Passo 3

Em seguida, lembramos a definição do rotacional de um campo F = Pi + Qj + Rk:
nabla times F = (partial Rpartial y-partial Qpartial z)i + (partial Ppartial z-partial Rpartial x)j + (partial Qpartial x-partial Ppartial y)k

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x,
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y,
As demais derivadas são nulas porque P e Q não dependem de z e R=0.

Passo 5

Finalmente, montamos o rotacional usando somente a componente k, pois as outras dão zero:
nabla times E = (2x - 2y),k

Resposta

(2x - 2y)k

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