Seja F(x)=integral1^x^2-1 18raiz1+u d u. Calcule F^prime(18).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função de integral com limite que depende de x
F(x)=integral1^x^2-118raiz1+u,du
O conteúdo é derivação de integral com limite variável, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia.

Passo 2

Teorema Fundamental + regra da cadeia: se
H(x)=integrala^h(x)f(u),du
então
H'(x)=fl(h(x)r)cdot h'(x)

Passo 3

Identificando no nosso caso: f(u)= 18/raiz1+u e h(x)= x^2-1. Logo h’(x)= 2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso F(x):
F'(x)=18raiz1+(x^2-1)cdot(2x)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão: dentro da raiz fica 1+(x^2-1)=x^2, então raizx^2=|x|. Como queremos F’(18) e 18>0, temos raiz18^2=18. Logo para x>0:
F'(x)=18xcdot2x=36

Passo 6

Para x=18, o valor não muda, então
F'(18)=36

Resposta

36

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