Calcule a integral
integral 5(x+1)(x+4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 5(x+1)(x+4),dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e a integral de 1/(x+a), que resulta em ln|x+a|.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
5(x+1)(x+4) = Ax+1 + Bx+4
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+4), obtemos
5 = A(x+4) + B(x+1)

Passo 3

Igualamos coeficientes na identidade polinomial. Do termo em x e do termo constante, temos o sistema
A + B = 0, 4A + B = 5
Resolvendo, encontramos
A = 53, B = -53

Passo 4

Substituímos na integral original e separamos em duas integrais:
integral 5(x+1)(x+4),dx = integral l(5/3x+1 - 5/3x+4r)dx = 53integral dxx+1 - 53integral dxx+4

Passo 5

Aplicando a fórmula integral dxx+a = ln|x+a| + C, obtemos
53ln|x+1| - 53ln|x+4| + C

Resposta

tfrac53ln!l|tfracx+1x+4r| + C

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