Calcule: integral-2^0 x+10(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de uma função racional, ou seja, uma fração em que o numerador é um polinômio de grau 1 e o denominador é um polinômio de grau 2. O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais e depois aplicação de antiderivadas conhecidas.

Passo 2

Primeiro a gente faz a decomposição em frações parciais. Queremos escrever
x+10(x-1)^2 = Ax-1 + B(x-1)^2
Multiplicando tudo por (x-1)^2, fica
x+10 = A(x-1) + B = Ax - A + B
Comparando coeficientes, no termo em x vem A = 1, e no termo independente vem -A + B = 10, ou seja -1 + B = 10 que dá B = 11. Assim
x+10(x-1)^2 = 1x-1 + 11(x-1)^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Pra 1/(x-1) usamos integral 1/(x-1),dx = ln|x-1|, e pra (x-1)^-2 usamos a regra de potência integral u^n,du = u^n+1/(n+1) com n=-2:
integral 11(x-1)^2,dx = 11 integral (x-1)^-2,dx = 11 cdot (x-1)^-1-1 = -11x-1
Logo uma primitiva geral é
F(x) = ln|x-1| - 11x-1 + C

Passo 4

Agora a gente aplica os limites de -2 até 0. Definindo
F(x) = ln|x-1| - 11x-1,
temos
F(0) = ln|0-1| - 110-1 = ln1 + 11 = 11,
F(-2) = ln|-2-1| - 11-2-1 = ln3 + 113
Então a integral definida é
integral-2^0 x+10(x-1)^2,dx = F(0) - F(-2) = 11 - l(ln3 + 113r)

Passo 5

Bastou simplificar: 11 = tfrac333, então
11 - 113 = 223,
e assim o valor final fica 223 - ln3.

Resposta

dfrac223 - ln3

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