Seja
uma função tal que
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que está limitada entre duas outras funções: $ x^{2} - 3x $ e $ \frac{x^{2} - 1}{1 - x} $. Nosso objetivo é calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1, ou seja, $ \lim_{x \to 1} f(x) $. Para isso, vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto), que é útil quando uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função inferior $ x^{2} - 3x $ quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $ na expressão:
Então, o limite da função inferior é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função superior $ \frac{x^{2} - 1}{1 - x} $ quando $ x $ se aproxima de 1. Antes de substituir, percebemos que se substituíssemos diretamente, teríamos uma forma indeterminada
. Então, vamos simplificar a expressão:
Agora, substituindo $ x = 1 $:
Então, o limite da função superior também é
.
Passo 4
Com os limites das funções inferior e superior iguais a
, e sabendo que $ x^{2} - 3x \leq f(x) \leq \frac{x^{2} - 1}{1 - x} $, pelo Teorema do Sanduíche, podemos concluir que:
Resposta
O limite
é igual a
.