Seja f uma função tal que x^2-3 x <= f(x) <= x^2-11-x, forall x in R-1. Calcule lim x 1 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que está limitada entre duas outras funções: $ x^{2} - 3x $ e $ \frac{x^{2} - 1}{1 - x} $. Nosso objetivo é calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1, ou seja, $ \lim_{x \to 1} f(x) $. Para isso, vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto), que é útil quando uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função inferior $ x^{2} - 3x $ quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $ na expressão:
x^2 - 3x
Então, o limite da função inferior é x .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função superior $ \frac{x^{2} - 1}{1 - x} $ quando $ x $ se aproxima de 1. Antes de substituir, percebemos que se substituíssemos diretamente, teríamos uma forma indeterminada x^2 - 11 - x . Então, vamos simplificar a expressão:
x
Agora, substituindo $ x = 1 $:
00
Então, o limite da função superior também é x^2 - 11 - x = (x - 1)(x + 1)1 - x = (x - 1)(x + 1)-(x - 1) = -(x + 1) .

Passo 4

Com os limites das funções inferior e superior iguais a -2, e sabendo que $ x^{2} - 3x \leq f(x) \leq \frac{x^{2} - 1}{1 - x} $, pelo Teorema do Sanduíche, podemos concluir que:
x^2 - 3x <= f(x) <= x^2 - 11 - x

Resposta

O limite limx to 1 f(x) é igual a -2.

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