Calcule: integral-1^1 d xx^2-4

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral-1^1 dxx^2 - 4. O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Decompomos dfrac1x^2-4 em frações parciais:
1x^2-4 = 1(x-2)(x+2) = Ax-2 + Bx+2
Igualando numeradores:
1 = A(x+2) + B(x-2)
Tomando x=2 e x=-2 achamos A=tfrac14 e B=-tfrac14, ou seja
1x^2-4 = 14l(1x-2 - 1x+2r)

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral dxx^2-4 = 14 integral l(1x-2 - 1x+2r) dx = 14l(ln|x-2| - ln|x+2|r) + C
ou de modo mais compacto
integral dxx^2-4 = 14 lnl|x-2x+2r| + C

Passo 4

Aplicamos os limites de -1 a 1:
integral-1^1 dxx^2-4 = [14 lnl|x-2x+2r|]-1^1
Calculando
14l(lnl|tfrac1-21+2r| - lnl|tfrac-1-2-1+2r|r) = 14l(ln(tfrac13) - ln(3)r) = -12ln 3

Resposta

-\tfrac{1}{2}\ln 3

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