Calcule.
integral e^2 x2 e^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^2x2e^2x+1,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos uma função no numerador que deriva a parte de dentro do denominador.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 2e^2x + 1. Assim, calculamos a diferencial:
Da definição de u segue que
u = 2e^2x + 1 implies dudx = 4e^2x implies du = 4e^2x,dx

Passo 3

Isolando e^2x,dx obtemos
e^2x,dx = du4

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
integral e^2x2e^2x+1,dx = integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u,du

Passo 5

Agora basta integrar integral 1u,du = ln|u| + C. Logo,
14 integral 1u,du = 14 ln|u| + C

Passo 6

Voltando à variável x, substituímos u = 2e^2x + 1. A solução final é obtida.
A resposta final é
14 lnl(2e^2x + 1r) + C

Resposta

14 lnl(2e^2x + 1r) + C

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