Seja a bola unitária. Use uma mudança de variáveis conveniente para calcular .

Passo 1

Queremos calcular a integral tripla integral triplaB(2+x^2+y^2+z^2)^-1/2,dx,dy,dz, onde B é a bola unitária x^2+y^2+z^2<=1. Como o integrando depende só da distância ao centro, faz todo sentido usar coordenadas esféricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x = r,sinvarphi,costheta, y = r,sinvarphi,sintheta, z = r,cosvarphi,
com
0<= r<=1, 0<=varphi<=pi, 0<=theta<2pi. O elemento de volume vira
dV = r^2,sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta
e o integrando é (2+r^2)^-1/2. Assim a integral fica
integral triplaB(2+dots)^-1/2dV = integral0^2piintegral0^piintegral0^1(2+r^2)^-1/2,r^2,sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

A parte angular separa direitinho:
integral0^2pidtheta = 2pi,
e
integral0^pisinvarphi,dvarphi = 2, \nportanto o fator angular é 4pi. Logo
I = 4piintegral0^1 r^2(2+r^2)^-1/2,dr

Passo 4

Para integral0^1 r^2(2+r^2)^-1/2,dr usamos integração por partes. Definimos
u = r e dv = r(2+r^2)^-1/2dr, então
du = dr e
v = raiz2+r^2
(pois a derivada de raiz2+r^2 é r/raiz2+r^2). Assim,
integral r^2(2+r^2)^-1/2dr = rraiz2+r^2 - integralraiz2+r^2,dr
Para integralraiz2+r^2,dr usamos a fórmula padrão
integralraiza^2+x^2,dx = x2raiza^2+x^2 + a^22lnl(x+raiza^2+x^2r)

Passo 5

Combinando tudo achamos o antiderivado
F(r) = r2raiz2+r^2 - lnl(r+raiz2+r^2r)
Avaliando de 0 a 1
l(tfrac12raiz3 - ln(1+raiz3)r) - l(0 - tfrac12ln2r) = tfracraiz32 - ln(1+raiz3) + tfrac12ln2
Multiplicando por 4pi e simplificando obtemos o resultado final.

Passo 6

Resposta

2piraiz3 ;+ ;2piln2;- ;4pilnl(1+raiz3r)

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