Seja
a bola unitária. Use uma mudança de variáveis conveniente para calcular
.
Passo 1
Queremos calcular a integral tripla
, onde
é a bola unitária
. Como o integrando depende só da distância ao centro, faz todo sentido usar coordenadas esféricas para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
com
,
,
. O elemento de volume vira
e o integrando é
. Assim a integral fica
Passo 3
A parte angular separa direitinho:
e
Passo 4
Para
usamos integração por partes. Definimos
e
, então
e
(pois a derivada de é
). Assim,
(pois a derivada de
Para
usamos a fórmula padrão
Passo 5
Combinando tudo achamos o antiderivado
Avaliando de
a
dá
Multiplicando por
e simplificando obtemos o resultado final.