( ) Calcule integralgamma x y d x+(x+y) d y para cada uma das curvas gamma de (0,0) a (1,3). Esboce gamma.
(a) gamma é o segmento de reta de (0,0) a (1,0) e de (1,0) a (1,3)

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral de linha
integralgamma x y,dx + (x+y),dy
o longo da curva gamma que vai de (0,0) a (1,0) e depois a (1,3). O conteúdo é integrais de linha de formas diferenciais e para resolver precisamos parametrizar cada trecho e esboçar a curva, que consiste em um segmento horizontal seguido de um vertical.

Passo 2

Parametrizamos o trecho de (0,0) a (1,0) por x=t, y=0 com tin[0,1]. Então dx=dt e dy=0. Substituindo na forma diferencial temos
x y,dx + (x+y),dy = tcdot0cdot dt + (t+0)cdot0 = 0
e a integral neste trecho é zero.

Passo 3

Parametrizamos o trecho de (1,0) a (1,3) por x=1, y=t com tin[0,3]. Então dx=0 e dy=dt. Substituindo, obtemos
x y,dx + (x+y),dy = 1cdot tcdot0 + (1+t),dt = (1+t),dt
Integrando de 0 a 3,
integral0^3 (1+t),dt = [t + t^22]0^3 = 3 + 92 = 152

Passo 4

O esboço da curva gamma é um segmento de reta do ponto (0,0) até (1,0) no eixo x, seguido por um segmento vertical de (1,0) até (1,3).

Resposta

152

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