Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida de uma função racional. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais para depois integrar term‐por‐termo. Vamos usar o fato de que uma racional com denominador fatorado em termos lineares pode ser escrita como soma de frações mais simples.
Passo 2
Começamos escrevendo
Aqui queremos achar constantes
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Isso é a aplicação da propriedade de frações parciais: igualamos numeradores.
Passo 4
Para determinar
e
, podemos comparar coeficientes ou usar valores convenientes de
. Vamos usar valores:
- Se
, fica , logo . - Se
, fica , logo .
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora usamos
.
Passo 6
Integrando cada termo:
Somando e incluindo a constante de integração, chegamos ao resultado.
Passo 7
Pronto! A integral fica a soma dos dois logaritmos ajustados com constantes.
Resposta
-\frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{7}{3}\ln|x-2| + C