Calcule
integral 2 x+3(x+1)(x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de uma função racional. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais para depois integrar term‐por‐termo. Vamos usar o fato de que uma racional com denominador fatorado em termos lineares pode ser escrita como soma de frações mais simples.

Passo 2

Começamos escrevendo
2x+3(x+1)(x-2) = Ax+1 + Bx-2
Aqui queremos achar constantes A e B.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-2), obtemos
2x+3 = A(x-2) + B(x+1)
Isso é a aplicação da propriedade de frações parciais: igualamos numeradores.

Passo 4

Para determinar A e B, podemos comparar coeficientes ou usar valores convenientes de x. Vamos usar valores:
  • Se x=2, fica 2·2+3=4+3=7= B(2+1)=3B, logo B=7/3.
  • Se x=-1, fica 2(−1)+3=−2+3=1= A(−1-2)=−3A, logo A=−1/3.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 2x+3(x+1)(x-2),dx = integral l( -131x+1 + 731x-2 r) dx
Agora usamos integral 1x+a,dx=ln|x+a|+C.

Passo 6

Integrando cada termo:
integral -131x+1,dx = -13ln|x+1|,
integral 731x-2,dx = 73ln|x-2|
Somando e incluindo a constante de integração, chegamos ao resultado.

Passo 7

Pronto! A integral fica a soma dos dois logaritmos ajustados com constantes.

Resposta

-\frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{7}{3}\ln|x-2| + C

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