Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de 8 m 3 / s. Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce: a) Quando r = 2 m ;

Passo 1

Então, a gente tem um balão esférico que está sendo inflado com gás a uma taxa constante de 8 , m^3/s. A gente quer descobrir quão rápido o raio desse balão está crescendo quando ele está com um raio de 2 , m. Vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. O volume V de uma esfera com raio r é dado por:
V = 43 pi r^3
Essa fórmula nos dá o quanto de espaço a esfera ocupa em função do raio.

Passo 3

Agora, queremos saber como o raio r muda com o tempo, ou seja, queremos encontrar drdt. Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo t. Fazendo a derivada de V em relação a t, temos:
dVdt = 4pi r^2 drdt
Aqui, dVdt é a taxa de variação do volume, que já sabemos ser 8 , m^3/s.

Passo 4

Agora, vamos isolar drdt na equação acima:
drdt = dVdt4pi r^2
Substituindo os valores que temos:
drdt = 84pi (2)^2 = 816pi = 12pi , m/s

Resposta

A velocidade com que o raio do balão está crescendo quando r = 2 , m é 12pi , m/s, aproximadamente 0,!159 , m/s.

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