Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de
. Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce: a) Quando r = 2 m ;
Passo 1
Então, a gente tem um balão esférico que está sendo inflado com gás a uma taxa constante de
. A gente quer descobrir quão rápido o raio desse balão está crescendo quando ele está com um raio de
. Vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. O volume
de uma esfera com raio
é dado por:
Essa fórmula nos dá o quanto de espaço a esfera ocupa em função do raio.
Passo 3
Agora, queremos saber como o raio
muda com o tempo, ou seja, queremos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Fazendo a derivada de
em relação a
, temos:
Aqui,
é a taxa de variação do volume, que já sabemos ser
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação acima:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A velocidade com que o raio do balão está crescendo quando
é
, aproximadamente
.