Encontre es pontos de máximo e míximo locais de f(x)=x^3+2 x^2+x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função $ f(x) = x^{3} + 2x^{2} + x + 1 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar onde elas se igualam a zero, o que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde podem ocorrer máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está “subindo” ou “descendo”. A fórmula para a derivada de uma função polinomial como essa é aplicar a regra da potência, que diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Então, derivando cada termo de $ f(x) = x^{3} + 2x^{2} + x + 1 $:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 3x^{2} + 4x + 1 $, precisamos encontrar os pontos onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são potenciais candidatos para máximos ou mínimos locais. Então, vamos resolver a equação:
f'(x) = 3x^2 + 4x + 1
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
3x^2 + 4x + 1 = 0
Onde $ a = 3 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Calculando o discriminante:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como $ \Delta > 0 $, temos duas soluções reais:
a = 3
Portanto:
b = 4
c = 1

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados $ x = -\frac{1}{3} $ e $ x = -1 $, precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo ou um mínimo local. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que nos indica a concavidade da função nos pontos críticos.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $:
x = -13

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para $ x = -\frac{1}{3} $:
x = -13
Como $ f’’\left(-\frac{1}{3}\right) > 0 $, a concavidade é para cima nesse ponto, indicando que temos um mínimo local.
  1. Para $ x = -1 $:
f''(-13) = 6(-13) + 4 = -2 + 4 = 2
Como $ f’’(-1) < 0 $, a concavidade é para baixo nesse ponto, indicando que temos um máximo local.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} + 2x^{2} + x + 1 $ possui um ponto de máximo local em $ x = -1 $ e um ponto de mínimo local em $ x = -\frac{1}{3} $.

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