Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(y z e^x z, e^x z, x y e^x z)
Determine se o campo vetorial é conservativo. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um campo vetorial específico é conservativo. Estamos falando de cálculo vetorial, onde campos conservativos são aqueles que têm um potencial escalar associado. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se um campo é conservativo, geralmente verificando se o rotacional do campo é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existir uma função escalar $ \phi $ tal que phi . Uma condição importante para isso é que o rotacional do campo, que é uma medida de sua “giro”, deve ser igual a zero em todas as direções. Em outras palavras, se F = nabla phi, então o campo pode ser conservativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial dado:
F(x, y, z) = (y z e^x z, e^x z, x y e^x z)
O rotacional nabla times F em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente passo a passo.

Passo 4

Vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial F3partial y = partialpartial y (x y e^x z) = x e^x z
partial F2partial z = partialpartial z (e^x z) = x e^x z
Então,
partial F3partial y - partial F2partial z = x e^x z - x e^x z = 0
  1. Segunda componente:
partial F1partial z = partialpartial z (y z e^x z) = y e^x z + y z x e^x z
partial F3partial x = partialpartial x (x y e^x z) = y e^x z + x y z e^x z
Então,
partial F1partial z - partial F3partial x = (y e^x z + y z x e^x z) - (y e^x z + x y z e^x z) = 0
  1. Terceira componente:
partial F2partial x = partialpartial x (e^x z) = z e^x z
partial F1partial y = partialpartial y (y z e^x z) = z e^x z
Então,
partial F2partial x - partial F1partial y = z e^x z - z e^x z = 0

Passo 5

Depois de calcular, vimos que todas as componentes do rotacional nabla times F são iguais a zero:
nabla times F = (0, 0, 0)
Isso indica que o rotacional do campo vetorial é nulo em todos os pontos do espaço considerado.

Resposta

Sim, o campo vetorial F(x, y, z) é conservativo, pois o rotacional de F é zero em todo o domínio.

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