Considere o campo vetorial
Determine se o campo vetorial é conservativo. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um campo vetorial específico é conservativo. Estamos falando de cálculo vetorial, onde campos conservativos são aqueles que têm um potencial escalar associado. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se um campo é conservativo, geralmente verificando se o rotacional do campo é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar $ \phi $ tal que
. Uma condição importante para isso é que o rotacional do campo, que é uma medida de sua “giro”, deve ser igual a zero em todas as direções. Em outras palavras, se
, então o campo pode ser conservativo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial dado:
O rotacional
em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente passo a passo.
Passo 4
Vamos calcular cada termo do rotacional:
- Primeira componente:
Então,
- Segunda componente:
Então,
- Terceira componente:
Então,
Passo 5
Depois de calcular, vimos que todas as componentes do rotacional
são iguais a zero:
Isso indica que o rotacional do campo vetorial é nulo em todos os pontos do espaço considerado.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo, pois o rotacional de
é zero em todo o domínio.