Calcule
integral 1(x+4) raizx^2+8 x-9 d x ; forall x>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1(x+4)raizx^2+8x-9,dx
no domínio x>1.
Repare que sob a raiz temos uma expressão quadrática podendo ser escrita como diferença de quadrados. Vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Escrevendo
x^2+8x-9 = (x+4)^2 - 25
podemos fazer a substituição
x+4 = 5sectheta,
o que implica x+4>5 (coerente com x>1) e ainda
raizx^2+8x-9 = raiz(x+4)^2-25 = 5tantheta

Passo 3

Derivando a substituição, obtemos
dx = 5secthetatantheta,dtheta
Substituindo na integral,
integral 1(x+4)raizx^2+8x-9,dx = integral 5secthetatantheta,dtheta(5sectheta),(5tantheta) = integral 15,dtheta

Passo 4

A integral em theta fica imediata:
integral 15,dtheta = theta5 + C

Passo 5

Volta à variável . Da substituição segue
Logo a antiderivada é

Resposta

integral 1(x+4)raizx^2+8x-9,dx = 15arccos!l(5x+4r) + C, x>1

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