Calcule
integral-1^0 1x^2+2 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^0 1x^2+2x+2,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional com denominador quadrático irreduzível; vamos completar o quadrado no denominador e usar a antiderivada de tfrac1u^2+1.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = x + 1, du = dx,
e ajustamos os limites: quando x=-1, u=0; quando x=0, u=1. Assim
integral-1^01x^2+2x+2,dx = integral0^1 1u^2+1,du

Passo 4

Usamos a antiderivada padronizada
integral 1u^2+1,du = arctan(u) + C,
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integral0^1 1u^2+1,du = l[arctan(u)r]0^1 = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0

Resposta

pi4

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