Considere a equação de onda
a^2 ux x=ut t
em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais
u(x, 0)=0, ut(x, 0)=g(x), -infty<x<infty
(a) Usando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre que
phi(x)+psi(x) & =0, -a phi^prime(x)+a psi^prime(x) & =g(x)
(b) Use a primeira das equações no item (a) para mostrar que psi^prime(x)=-phi^prime(x). Depois, use a segunda equação para mostrar que -2 a phi^prime(x)=g(x) e, portanto, que
phi(x)=-12 a integralx0^x g(xi) d xi+phi(x0)
onde x0 é arbitrário. Finalmente, determine psi(x).
(c) Mostre que
u(x, t)=12 a integralx-a t^x+a t g(xi) d xi

Passo 1

O enunciado trata da equação de onda unidimensional em meio infinito
a^2uxx=utt
com condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x)
Pelo Problema 13 sabemos que a solução geral é da forma
u(x,t)=phi(x+at)+psi(x-at)
Vamos usar essa forma e impor as condições iniciais para determinar phi e psi.

Passo 2

Aplicando t=0 em u(x,t) obtemos
u(x,0)=phi(x)+psi(x)=0,
isto é,
phi(x)+psi(x)=0
Agora computamos
ut(x,t)=a,phi'(x+at)-a,psi'(x-at),
e em t=0 isso dá
ut(x,0)=a,phi'(x)-a,psi'(x)=g(x),
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-,a,phi'(x)+a,psi'(x)=g(x)

Passo 3

Da primeira equação phi(x)+psi(x)=0 segue psi(x)=-phi(x) e, portanto,
psi'(x)=-phi'(x)
Substituindo em
-,a,phi'(x)+a,psi'(x)=g(x)
vem
-,a,phi'(x)+al(-phi'(x)r)=g(x) ;Longrightarrow; -2a,phi'(x)=g(x),
ou seja
phi'(x)=-g(x)2a
Integrando de um ponto arbitrário x0 até x,
phi(x)=-12aintegralx0^xg(xi),dxi+phi(x0)

Passo 4

Como psi(x)=-phi(x), temos
psi(x)=12aintegralx0^xg(xi),dxi-phi(x0)
Substituindo em
u(x,t)=phi(x+at)+psi(x-at)
e observando que as constantes phi(x0) se cancelam, obtemos
u(x,t) =-12aintegralx0^,x+atg(xi),dxi +12aintegralx0^,x-atg(xi),dxi =12aintegralx-at^,x+atg(xi),dxi

Resposta

u(x,t) =12aintegralx-at^,x+atg(xi),dxi

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