Considere a equação de onda
em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais
(a) Usando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre que
(b) Use a primeira das equações no item (a) para mostrar que
. Depois, use a segunda equação para mostrar que
e, portanto, que
onde
é arbitrário. Finalmente, determine
.
(c) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata da equação de onda unidimensional em meio infinito
com condições iniciais
Pelo Problema 13 sabemos que a solução geral é da forma
Vamos usar essa forma e impor as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 2
Aplicando
em
obtemos
isto é,
Agora computamos
e em
isso dá
logo
Passo 3
Da primeira equação
segue
e, portanto,
Substituindo em
vem
ou seja
Integrando de um ponto arbitrário
até
,
Passo 4
Como
, temos
Substituindo em
e observando que as constantes
se cancelam, obtemos