Calcule a integral
integral xraiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral
integral xraiz1-4x^2,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, onde vamos trocar a variável para eliminar a raiz quadrada e chegar a uma potência de u fácil de integrar.

Passo 2

Para escolher a substituição, observe a expressão dentro da raiz. Faz sentido definir
u = 1 - 4x^2
e calcular o diferencial para trocar x,dx. Temos
du = -8x,dx Rightarrow x,dx = -tfrac18,du

Passo 3

Agora reescrevemos a integral original em função de u. Note que raiz1-4x^2=raizu, então

Passo 4

integral xraiz1-4x^2,dx = integral xraizu,dx = -tfrac18integral u^-tfrac12,du

Passo 5

Para integrar u^-1/2 usamos a fórmula
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C,
onde aqui n=-tfrac12 e n+1=tfrac12. Assim

Passo 6

-tfrac18integral u^-tfrac12,du = -tfrac18cdot u^tfrac12tfrac12 + C = -tfrac14u^tfrac12 + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável x substituindo u=1-4x^2. A resposta fica:

Passo 8

-tfrac14raiz1-4x^2 + C

Resposta

-\tfrac{1}{4}\sqrt{1-4x^2} + C

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