Calcule:
integral x+6x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de x+6x+1,dx. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos precisar usar divisão de polinômios para decompor a fração antes de integrar.

Passo 2

Para fazer a divisão de polinômios, escrevemos x+6 como a soma de (x+1) mais um resto:
x+6 = (x+1) + 5
Logo,
x+6x+1 = 1 + 5x+1

Passo 3

Com essa decomposição, separamos a integral em duas partes:
integral x+6x+1,dx = integral 1,dx + integral 5x+1,dx

Passo 4

Agora integramos cada parte. Para a primeira,
integral 1,dx = x
Para a segunda, fatoramos o 5 e usamos a integral do logaritmo:
integral 5x+1,dx = 5 integral 1x+1,dx = 5 lnlvert x+1rvert

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, a integral fica
x + 5 lnlvert x+1rvert + C

Resposta

x + 5 lnlvert x+1rvert + C

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