Calcule:
integral y(y+1)^2 d y

Passo 1

Nessa questão vamos calcular a integral integral y(y+1)^2 , dy. O conteúdo envolve integrais de funções racionais e para resolver vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição u = y+1. Daí temos du = dy e y = u - 1.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
integral y(y+1)^2 , dy = integral u - 1u^2 , du = integral l(1u - 1u^2r) , du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 1u , du = ln lvert urvert, integral 1u^2 , du = -1u
Logo,
integral l(1u - 1u^2r) , du = ln lvert urvert + 1u + C

Passo 5

Voltando à variável original y, como u = y+1, obtemos:
ln lvert y+1rvert + 1y+1 + C

Resposta

ln lvert y+1rvert + 1y+1 + C

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