Calcule
integral xx^2+x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
integral xx^2+x-2 , dx
Isso envolve um conteúdo de integração de funções racionais, e para resolver, vamos precisar usar frações parciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) . Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a integração.
Vamos fatorar integral x(x + 2)(x - 1) , dx :
Agora, a integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais. Queremos escrever a fração x(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1 como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar x = A(x - 1) + B(x + 2) e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação.

Passo 5

Primeiro, vamos escolher -2 = A(-2 - 1) + B(-2 + 2) -2 = A(-3) + B(0) -2 = -3A A = 23 :
1 = A(1 - 1) + B(1 + 2) 1 = A(0) + B(3) 1 = 3B B = 13
Agora, escolhemos :

Passo 6

Agora que temos integral x(x + 2)(x - 1) , dx = integral ( 2/3x + 2 + 1/3x - 1 ) , dx e , podemos reescrever a integral:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2/3x + 2 , dx = 23 ln|x + 2|
integral 1/3x - 1 , dx = 13 ln|x - 1|

Passo 8

Juntando as duas partes e adicionando a constante de integração integral xx^2+x-2 , dx = 23 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C , temos:

Resposta

A integral vale
23 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C,
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados