Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
Isso envolve um conteúdo de integração de funções racionais, e para resolver, vamos precisar usar frações parciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a integração.
Vamos fatorar
:
Agora, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais. Queremos escrever a fração
como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação.
Passo 5
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Juntando as duas partes e adicionando a constante de integração
, temos:
Resposta
A integral vale
onde
é a constante de integração.