Verifique se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, calcule o seu valor.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, devemos calcular o seu valor. Vamos trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Precisamos usar limites para resolver esse tipo de integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos que o denominador se torna zero quando , o que torna a integral imprópria na parte inferior do intervalo. Para resolver, substituímos o limite inferior por um valor que se aproxima de 3 por valores maiores, ou seja, . Assim, reescrevemos a integral como:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral . Sabemos que a antiderivada de é . Portanto:
Simplificando:
= 2raiz1 - 2raiza-3 = 2 - 2raiza-3
Passo 4
Agora, aplicamos o limite conforme a se aproxima de 3:
lima to 3^+ (2 - 2raiza-3) = 2 - 2 times 0 = 2
Resposta
A integral imprópria integral3^4 dxraizx-3 converge e seu valor é igual a 2.