Verifique se a integral imprópria integral3^4 d xraizx-3 converge ou diverge. Se convergir, calcule o seu valor.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a integral imprópria integral3^4 dxraizx-3 converge ou diverge. Se convergir, devemos calcular o seu valor. Vamos trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Precisamos usar limites para resolver esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos que o denominador raizx-3 se torna zero quando x = 3, o que torna a integral imprópria na parte inferior do intervalo. Para resolver, substituímos o limite inferior por um valor a que se aproxima de 3 por valores maiores, ou seja, a to 3^+. Assim, reescrevemos a integral como:
integral3^4 dxraizx-3 = lima to 3^+ integrala^4 dxraizx-3

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral dxraizx-3. Sabemos que a antiderivada de 1raizx-3 é 2raizx-3. Portanto:
integrala^4 dxraizx-3 = 2raizx-3 |a^4 = 2raiz4-3 - 2raiza-3
Simplificando:
= 2raiz1 - 2raiza-3 = 2 - 2raiza-3

Passo 4

Agora, aplicamos o limite conforme a se aproxima de 3:
lima to 3^+ (2 - 2raiza-3) = 2 - 2 times 0 = 2

Resposta

A integral imprópria integral3^4 dxraizx-3 converge e seu valor é igual a 2.

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