Considere a superfície composta pelo campo escalar f(x, y)=2 raizx^2+y^2 e limitada pelos planos z=0 e z=4. A única afirmação verdadeira entre as seguintes é:
Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pelo campo escalar , que está limitada pelos planos e . A pergunta quer que a gente identifique qual das afirmações apresentadas é verdadeira, e a opção que estamos considerando é “Nenhuma das outras alternativas”.
Vamos precisar entender um pouco sobre campos escalares, superfícies tridimensionais e como essas superfícies são limitadas por planos. Também vamos aplicar conceitos de cálculo multivariável para analisar as propriedades dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o campo escalar dado por . Esse tipo de função nos dá uma “altura” z para cada ponto (x, y) no plano. Então, para cada par de coordenadas (x, y), podemos calcular z.
A expressão é a distância do ponto (x, y) até a origem no plano xy. Multiplicando por 2, obtemos a altura z em função dessa distância.
Então, a superfície é um cone com vértice na origem (0,0,0) e que se abre para cima.
Agora, a superfície está limitada pelos planos e . Isso significa que estamos considerando apenas a parte do cone que vai do vértice (quando z = 0) até z = 4.

Passo 3

Vamos visualizar isso: imagine um cone que começa na origem e se estende para cima até atingir a altura z = 4. Esse é o “topo” da nossa superfície considerada.
A pergunta nos apresenta a afirmação “Nenhuma das outras alternativas”. Para confirmar se essa afirmação é verdadeira, precisaríamos conhecer as outras alternativas. No entanto, como só temos essa afirmação, vamos supor que estamos verificando se essa é a única correta.

Passo 4

Sem as outras alternativas, podemos interpretar que a questão está testando nosso entendimento sobre a superfície descrita. Sabemos que:
  • A superfície é um cone perfeitamente simétrico em relação ao eixo z.
  • Está limitada entre z = 0 e z = 4.
  • Para z = 4, podemos encontrar o raio do cone.
Vamos calcular o raio na altura z = 4. Sabemos que 4 = 2 raizx^2 + y^2 , então:
2 = raizx^2 + y^2
Dividindo ambos os lados por 2:
4 = x^2 + y^2
Elevando ao quadrado:
Isso nos mostra que na altura z = 4, o raio do cone é 2 unidades.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos concluir que a superfície limitada pelos planos z = 0 e z = 4 é um cone com raio 2 na base superior (z = 4).
Se a afirmação “Nenhuma das outras alternativas” está entre as opções, e considerando que analisamos corretamente a descrição da superfície, concluímos que essa é a afirmação verdadeira.

Resposta

A única afirmação verdadeira é que Nenhuma das outras alternativas está correta.

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