Calcule
integral(-1,0)^(1,0) xx^2+y^2 d x+yx^2+y^2 d y
Aqui, você pode resolver a integral escolhendo uma curva de sua preferência, ou então encontrando uma função potencial adequada. Observe o domínio do campo para resolver a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integral(-1,0)^(1,0) xx^2+y^2,dx + yx^2+y^2,dy
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de campos conservativos e funções potenciais. Vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo e, em caso afirmativo, achar sua função potencial para aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para ver se o campo é conservativo, procuramos uma função phi(x,y) tal que
partialphipartial x=xx^2+y^2, partialphipartial y=yx^2+y^2
Integrando partialphi/partial x em relação a x, temos
phi(x,y)=integralxx^2+y^2,dx=12lnl(x^2+y^2r)+h(y)
Derivando em relação a y:
partialphipartial y=12cdot2yx^2+y^2+h'(y)=yx^2+y^2+h'(y)
Como queremos partialphi/partial y=y/(x^2+y^2), temos h'(y)=0. Logo,
phi(x,y)=12lnl(x^2+y^2r)
é uma função potencial válida no domínio R^2setminus0.

Passo 3

Pela existência de phi, o campo é conservativo em todo caminho que não passe pela origem. Assim, a integral independe da curva escolhida (desde que não cruze o ponto singular) e vale
phil(1,0r)-phil(-1,0r) =12ln(1^2+0^2)-12ln((-1)^2+0^2) =12ln1-12ln1 =0

Passo 4

Portanto, o valor da integral de linha é zero.

Resposta

0

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