(a) integral 1x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1x^2-1,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos precisar usar a técnica de frações parciais para decompor o integrando em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Para aplicar frações parciais, escrevemos
1x^2-1=Ax-1+Bx+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^2-1=(x-1)(x+1), obtemos
1 = A(x+1)+B(x-1)

Passo 4

Escolhendo valores convenientes: para x=1 1=2A logo A=tfrac12, e para x=-1 1=-2B logo B=-tfrac12. Assim
1x^2-1=1/2x-1-1/2x+1

Passo 5

Agora dividimos a integral em duas partes:
integral 1x^2-1,dx = 12integral 1x-1,dx - 12integral 1x+1,dx

Passo 6

Sabemos que integral 1u,du=ln|u|+C. Aplicando com u=x-1 e u=x+1, fica
12ln|x-1| - 12ln|x+1| + C

Passo 7

Por fim, podemos reunir os logaritmos numa só expressão:
12lnl|x-1x+1r| + C

Resposta

12lnl|x-1x+1r| + C

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