Encontre o Wronskiano do par de funções
l y1(t)=cos ^2 t y2(t)=1+cos 2 t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o Wronskiano de duas funções dadas:
l y1(t)=cos ^2 t y2(t)=1+cos 2 t
Conteúdo da matéria: O Wronskiano é uma ferramenta utilizada para determinar a independência linear de soluções de equações diferenciais. Para encontrar o Wronskiano de duas funções, precisamos conhecer o conceito de determinante de uma matriz composta pelas funções e suas derivadas.
O que vamos precisar:
  1. Calcular as derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
  2. Montar a matriz com essas funções e suas derivadas.
  3. Calcular o determinante dessa matriz para obter o Wronskiano.

Passo 2

Calcular as derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $:
Primeiro, vamos derivar cada função em relação a $ t $.
  1. Derivada de $ y_{1}(t) = \cos^{2} t $:
Para derivar $ \cos^{2} t $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos u $ em relação a $ u $ é $ -\sin u $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ t $.
y1(t)
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $:
y2(t)
  1. Derivada de $ y_{2}(t) = 1 + \cos 2t $:
A derivada de uma constante é zero, e a derivada de $ \cos 2t $ é $ -2 \sin 2t $.
t

Passo 3

Montar a matriz para calcular o Wronskiano:
O Wronskiano é definido como o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas:
W(y1, y2) = y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t)
Substituindo as funções e suas derivadas:
W(y1, y2) = cos^2 t & 1 + cos 2t -sin 2t & -2 sin 2t

Passo 4

Calcular o determinante da matriz:
Para calcular o determinante de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
a & b c & d = a cdot d - b cdot c
Aplicando isso à nossa matriz:
W(y1, y2) = (cos^2 t) cdot (-2 sin 2t) - (1 + cos 2t) cdot (-sin 2t)
Simplificando cada termo:
  1. (cos^2 t) cdot (-2 sin 2t) = -2 cos^2 t sin 2t
  2. (1 + cos 2t) cdot (-sin 2t) = -sin 2t - cos 2t sin 2t
Agora, juntando tudo:
W(y1, y2) = -2 cos^2 t sin 2t - (-sin 2t - cos 2t sin 2t) = -2 cos^2 t sin 2t + sin 2t + cos 2t sin 2t
Podemos fatorar $ \sin 2t $:
sin 2t
Usando a identidade trigonométrica $ \cos 2t = 2 \cos^{2} t - 1 $, substituímos:
W(y1, y2) = sin 2t (-2 cos^2 t + 1 + cos 2t)

Resposta

O Wronskiano das funções dadas é $ 0 $.

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