Encontre o Wronskiano do par de funções
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o Wronskiano de duas funções dadas:
Conteúdo da matéria: O Wronskiano é uma ferramenta utilizada para determinar a independência linear de soluções de equações diferenciais. Para encontrar o Wronskiano de duas funções, precisamos conhecer o conceito de determinante de uma matriz composta pelas funções e suas derivadas.
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
- Montar a matriz com essas funções e suas derivadas.
- Calcular o determinante dessa matriz para obter o Wronskiano.
Passo 2
Calcular as derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $:
Primeiro, vamos derivar cada função em relação a $ t $.
- Derivada de $ y_{1}(t) = \cos^{2} t $:
Para derivar $ \cos^{2} t $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \cos u $ em relação a $ u $ é $ -\sin u $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ t $.
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $:
- Derivada de $ y_{2}(t) = 1 + \cos 2t $:
A derivada de uma constante é zero, e a derivada de $ \cos 2t $ é $ -2 \sin 2t $.
Passo 3
Montar a matriz para calcular o Wronskiano:
O Wronskiano é definido como o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas:
Substituindo as funções e suas derivadas:
Passo 4
Calcular o determinante da matriz:
Para calcular o determinante de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando cada termo:
-
(cos^2 t) cdot (-2 sin 2t) = -2 cos^2 t sin 2t -
(1 + cos 2t) cdot (-sin 2t) = -sin 2t - cos 2t sin 2t
Agora, juntando tudo:
Podemos fatorar $ \sin 2t $:
Usando a identidade trigonométrica $ \cos 2t = 2 \cos^{2} t - 1 $, substituímos:
Resposta
O Wronskiano das funções dadas é $ 0 $.