Calcule
integral(0,0,0)^(1,1,1)(x+y+z) e^(x+y+z)^2 d x+(x+y+z) e^(x+y+z)^2 d y+(x+y+z) e^(x+y+z)^2 d z
Aqui, você pode resolver a integral escolhendo uma curva de sua preferência, ou então encontrando uma função potencial adequada. Observe o domínio do campo para resolver a integral.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha
integral(0,0,0)^(1,1,1)P,dx + Q,dy + R,dz
onde
P=Q=R=(x+y+z)e^(x+y+z)^2
O conteúdo é campos vetoriais conservativos e integrais de linha, e vamos precisar verificar que o campo é conservativo e depois encontrar sua função potencial.

Passo 2

Observamos que o domínio é todo R^3, que é simplesmente conexo, e que as derivadas parciais satisfazem
partial Ppartial y=e^(x+y+z)^2+2(x+y+z)^2e^(x+y+z)^2=partial Qpartial x,
e de modo análogo para as outras combinações. Logo o campo é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Para encontrar a função potencial varphi(x,y,z) tal que
nablavarphi=(P,Q,R),
defina s=x+y+z e integre em relação a x:
varphi=integral s e^s^2,dx=integral u e^u^2,du=tfrac12e^u^2+C(y,z)=tfrac12e^(x+y+z)^2+C(y,z)
Derivando em y e z vemos que C(y,z) deve ser constante. Então
varphi(x,y,z)=tfrac12e^(x+y+z)^2+K

Passo 4

Como a integral independe do caminho, basta avaliar
varphi(1,1,1)=tfrac12e^9,
varphi(0,0,0)=tfrac12e^0=tfrac12
Assim a integral é
varphi(1,1,1)-varphi(0,0,0)=tfrac12(e^9-1)

Resposta

12(e^9-1)

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