Encontre o valor de
para que a função dada seja contínua em
:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de $ a > 0 $ que faz a função $ f(x, y) $ ser contínua no ponto $ (0,0) $. A função está definida de duas maneiras:
- Para qualquer $ (x, y) \neq (0,0) $, temos $ f(x, y) = \frac{y{2}}{\sqrt{y{2}+1}-1} + x $.
- No ponto $ (0,0) $, $ f(0,0) = 21a^{2} - 2a - 1 $.
Vamos precisar entender o que significa continuidade em um ponto e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para a função ser contínua em $ (0,0) $, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ deve ser igual ao valor da função neste ponto. Ou seja:
Então, vamos primeiro calcular este limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Como $ x $ tende a 0 quando $ (x, y) \to (0,0) $, podemos focar no termo $ \frac{y{2}}{\sqrt{y{2}+1}-1} $.
Passo 4
Para simplificar $ \frac{y{2}}{\sqrt{y{2}+1}-1} $, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora, o limite se torna:
Calculando cada parte:
E:
Então:
Portanto, o limite é 2.
Passo 6
Para a função ser contínua em $ (0,0) $, devemos ter:
Vamos resolver a equação:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática $ 21a^{2} - 2a - 3 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 21 $, $ b = -2 $, e $ c = -3 $:
As soluções são:
Como $ a > 0 $, descartamos a solução negativa.