Encontre o valor de a>0 para que a função dada seja contínua em (0,0) :
f(x, y)=ll y^2raizy^2+1-1+x & se (x, y) neq(0,0) 21 a^2-2 a-1 & se (x, y)=(0,0)
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de $ a > 0 $ que faz a função $ f(x, y) $ ser contínua no ponto $ (0,0) $. A função está definida de duas maneiras:
  • Para qualquer $ (x, y) \neq (0,0) $, temos $ f(x, y) = \frac{y{2}}{\sqrt{y{2}+1}-1} + x $.
  • No ponto $ (0,0) $, $ f(0,0) = 21a^{2} - 2a - 1 $.
Vamos precisar entender o que significa continuidade em um ponto e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para a função ser contínua em $ (0,0) $, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ deve ser igual ao valor da função neste ponto. Ou seja:
(0,0)
Então, vamos primeiro calcular este limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) ( y^2raizy^2+1-1 + x )
Como $ x $ tende a 0 quando $ (x, y) \to (0,0) $, podemos focar no termo $ \frac{y{2}}{\sqrt{y{2}+1}-1} $.

Passo 4

Para simplificar $ \frac{y{2}}{\sqrt{y{2}+1}-1} $, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
y^2raizy^2+1-1
Simplificando o denominador:
y^2raizy^2+1-1 times raizy^2+1+1raizy^2+1+1 = y^2(raizy^2+1+1)(raizy^2+1)^2 -1
Então:
(raizy^2+1)^2 -1 = y^2 + 1 - 1 = y^2

Passo 5

Agora, o limite se torna:
limy to 0 (raizy^2+1 + 1) + limx to 0 x
Calculando cada parte:
limy to 0 raizy^2+1 = raiz0 + 1 = 1
E:
limx to 0 x = 0
Então:
1 + 1 + 0 = 2
Portanto, o limite é 2.

Passo 6

Para a função ser contínua em $ (0,0) $, devemos ter:
(0,0)
Vamos resolver a equação:
f(0,0) = 21a^2 - 2a - 1 = 2

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática $ 21a^{2} - 2a - 3 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
21a^2 - 2a - 3 = 0
Onde $ a = 21 $, $ b = -2 $, e $ c = -3 $:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
As soluções são:
a = 21
Como $ a > 0 $, descartamos a solução negativa.

Resposta

boxeddfrac37

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