Decida quais dos seguintes campos, definidos em todo R^2, são conservativos:
F(x, y, z)=(y^2, z^3, x y z)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial definido em todo R^3 (embora diga R^2, há três componentes):
vec F(x,y,z) = (y^2,;z^3,;x y z)
O conteúdo é “campos conservativos” e vamos precisar usar o teste do rotacional para decidir se vec F é gradiente de alguma função potencial.

Passo 2

Em uma região simplesmente conexa (como R^3), vec F é conservativo se e somente se
nablatimesvec F = vec0
O rotacional de vec F=(P,Q,R) é dado por
nablatimesvec F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 3

Agora calculamos cada derivada:
partial Rpartial y = partial (x y z)partial y = xz, partial Qpartial z = partial (z^3)partial z = 3z^2, partial Ppartial z = partial (y^2)partial z = 0, partial Rpartial x = partial (x y z)partial x = yz, partial Qpartial x = partial (z^3)partial x = 0, partial Ppartial y = partial (y^2)partial y = 2y
Portanto o rotacional é

Passo 4

nablatimesvec F = (xz - 3z^2,;0 - yz,;0 - 2y) = (xz - 3z^2,;-yz,;-2y)

Passo 5

Repare que nablatimesvec F não é o vetor nulo (por exemplo, a primeira componente xz-3z^2 e as outras não são identicamente zero). Logo o teste do rotacional falha e não existe função potencial definida em todo R^3.

Resposta

O campo vec F(x,y,z)=(y^2,,z^3,,xyz) não é conservativo, pois seu rotacional não se anula em R^3.

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