Decida quais dos seguintes campos, definidos em todo R^2, são conservativos:
F(x, y, z)=((x+y+z)^10,(x+y+z)^10,(x+y+z)^10)

Passo 1

O exercício pede para verificar se o campo vetorial em ℝ³ dado por
vec F(x,y,z)=l((x+y+z)^10,,(x+y+z)^10,,(x+y+z)^10r)
é conservativo. O conteúdo envolvido é teoria de campos conservativos e cálculo do rotor (curl). Vamos usar que em um domínio simplesmente conexo (como ℝ³), um campo com rotor nulo é conservativo.

Passo 2

Em ℝ³, que é simplesmente conexo, um vetor vec F de classe C^1 é conservativo se, e somente se, seu rotor for o vetor nulo. Logo, precisamos calcular
nablatimesvec F
e verificar se todas as componentes são zero.

Passo 3

Como as três componentes de vec F são iguais a f(x,y,z)=(x+y+z)^10, temos
F1=F2=F3=f(x,y,z)
Então o rotor é
nablatimesvec F=l(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1r)
Como
partialyf=10(x+y+z)^9=partialzf
e de modo análogo as outras derivadas parciais, cada diferença é zero. Portanto
nablatimesvec F=vec0

Passo 4

Como o rotor é nulo em todo o domínio simplesmente conexo ℝ³, concluímos que vec F é conservativo em todo o espaço. Podemos inclusive encontrar uma função potencial phi, mas não era exigido.

Resposta

O campo vec F é conservativo em todo R^3.

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