Decida quais dos seguintes campos, definidos em todo
, são conservativos:
Passo 1
O exercício pede para verificar se o campo vetorial em ℝ³ dado por
é conservativo. O conteúdo envolvido é teoria de campos conservativos e cálculo do rotor (curl). Vamos usar que em um domínio simplesmente conexo (como ℝ³), um campo com rotor nulo é conservativo.
Passo 2
Em ℝ³, que é simplesmente conexo, um vetor
de classe
é conservativo se, e somente se, seu rotor for o vetor nulo. Logo, precisamos calcular
e verificar se todas as componentes são zero.
Passo 3
Como as três componentes de
são iguais a
, temos
Então o rotor é
Como
e de modo análogo as outras derivadas parciais, cada diferença é zero. Portanto
Passo 4
Como o rotor é nulo em todo o domínio simplesmente conexo ℝ³, concluímos que
é conservativo em todo o espaço. Podemos inclusive encontrar uma função potencial
, mas não era exigido.
Resposta
O campo
é conservativo em todo
.