Calcule a integral.
integral y(y+4)(2 y-1) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral y(y+4)(2y-1),dy. O conteúdo aqui é integração de função racional, que normalmente resolvemos por decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para usar fração parcial, escrevemos
y(y+4)(2y-1)=Ay+4+B2y-1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (y+4)(2y-1) para obter uma identidade em y:
y=A(2y-1)+B(y+4)

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos semelhantes, temos
y=(2A+B)y+(4B-A)

Passo 5

Igualando coeficientes de y e termo constante, obtemos o sistema
2A+B=1,4B-A=0

Passo 6

Da segunda equação vem A=4B. Substituindo na primeira:
2(4B)+B=1implies9B=1implies B=tfrac19, A=4B=tfrac49

Passo 7

Agora reescrevemos a integral:
integraly(y+4)(2y-1),dy=49integral1y+4,dy+19integral12y-1,dy

Passo 8

Integrando cada parte: para integral1y+4dy=ln|y+4| e para integral12y-1dy=tfrac12ln|2y-1|. Portanto a integral fica
49ln|y+4|+19cdot12ln|2y-1|+C

Resposta

49ln|y+4|+118ln|2y-1|+C

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