Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens de a) à c), determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo do da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
y=x^2 e y=x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x^{3} $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das arandelas, que envolve integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de $ x $ onde $ x^{2} = x^{3} $. Isso nos dá os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo $ x^{2} = x^{3} $:
x^2 = x^3
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Esses serão os nossos limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $. Para isso, podemos escolher um valor no meio, como $ x = 0,5 $:
x = 0
Então, $ y = x^{2} $ está acima de $ y = x^{3} $ nesse intervalo.

Passo 5

Usando o método das arandelas, o volume $ V $ é dado por:
V
Onde:
  • $ R(x) $ é a função de maior valor (a que forma o raio externo)
  • $ r(x) $ é a função de menor valor (a que forma o raio interno)
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração

Passo 6

Identificamos:
R(x) = x^2 r(x) = x^3 a = 0 b = 1
Substituindo na fórmula:
V = pi integral0^1 [ ( x^2 )^2 - ( x^3 )^2 ] dx

Passo 7

Calculando as potências:
( x^2 )^2 = x^4 ( x^3 )^2 = x^6
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 ( x^4 - x^6 ) dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral x^4 dx = x^55 integral x^6 dx = x^77
Substituindo na expressão do volume:
V = pi [ ( x^55 - x^77 ) g|0^1 ]

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = 0 $:
1^55 - 1^77 = 15 - 17 = 7 - 535 = 235

Passo 10

Calculando o volume:
V = pi ( 235 - 0 ) = 2pi35

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{2\pi}{35} $ unidades cúbicas.

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