Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens de a) à c), determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo do da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
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Nos itens de a) à c), determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo do da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x^{3} $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das arandelas, que envolve integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de $ x $ onde $ x^{2} = x^{3} $. Isso nos dá os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo $ x^{2} = x^{3} $:
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Esses serão os nossos limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $. Para isso, podemos escolher um valor no meio, como $ x = 0,5 $:
Então, $ y = x^{2} $ está acima de $ y = x^{3} $ nesse intervalo.
Passo 5
Usando o método das arandelas, o volume $ V $ é dado por:
Onde:
- $ R(x) $ é a função de maior valor (a que forma o raio externo)
- $ r(x) $ é a função de menor valor (a que forma o raio interno)
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração
Passo 6
Identificamos:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Calculando as potências:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão do volume:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Passo 10
Calculando o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{2\pi}{35} $ unidades cúbicas.