Calcule
integral0^12 xraiz1-x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
integral0^tfrac12xraiz1 - x^4,dx
O conteúdo principal é usar uma substituição que simplifique o radical do tipo raiz1 - x^4. Vamos precisar reconhecer que x,dx pode ser reescrito em função de u = x^2, levando a uma integral de arco seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x varia de 0 até tfrac12, u varia de
u(0)=0, ul(tfrac12r)=l(tfrac12r)^2=tfrac14
Assim a integral fica
integral0^tfrac12xraiz1 - x^4,dx = 12 integral0^tfrac14duraiz1 - u^2

Passo 3

Reconhecemos que
integralduraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C
Portanto
12 integral0^tfrac14duraiz1 - u^2 = 12l[arcsin(u)r]0^tfrac14 = 12l(arcsin(tfrac14)-arcsin(0)r) = 12,arcsinl(tfrac14r)

Resposta

12,arcsin!l(tfrac14r)

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