Seja T o operador linear determinado pela matriz:
[rrr1 & 2 & -1 2 & 0 & 1 1 & -2 & 2]
a) Calcular N(T) e dim N(T).
b) Calcular Im(T) e dim Im(T).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T definido pela matriz
A = 1 & 2 & -12 & 0 & 11 & -2 & 2
Queremos calcular N(T)=xin R^3:Ax=0 e dim N(T), além de Im(T) e dim Im(T). Para isso, usaremos eliminação de Gauss para achar o núcleo e depois observaremos que a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss à matriz A:
1 & 2 & -1 2 & 0 & 1 1 & -2 & 2 longrightarrow 1 & 2 & -1 0 & -4 & 3 1 & -2 & 2 longrightarrow 1 & 2 & -1 0 & -4 & 3 0 & -4 & 3 longrightarrow 1 & 2 & -1 0 & -4 & 3 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma escalonada, obtemos as equações
x1 +2x2 - x3=0, -4x2+3x3=0
Da segunda segue
x2 = tfrac34x3
Substituindo na primeira,
x1 = x3 -2x2 = x3 -2cdottfrac34x3 = -tfrac12x3
Logo os vetores do núcleo são
x = x3l(-tfrac12,tfrac34,1r)
Escolhendo t=4x3, obtemos a base t(-2,3,4). Assim
N(T)=span(-2,3,4), dim N(T)=1

Passo 4

A imagem Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A. Como as colunas 1 e 2 são pivôs, tomamos
(1,2,1) e (2,0,-2)
como base de Im(T). Logo
Im(T)=span(1,2,1),(2,0,-2), dim Im(T)=2

Resposta

N(T)=span(-2,3,4), dim N(T)=1,
Im(T)=span(1,2,1),(2,0,-2), dim Im(T)=2

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