Determine
integral e^xraiz1-e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral e^xraiz1-e^2x,d x
Estamos vendo técnicas de integração e, em particular, uma integral que se resolve de forma direta por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x,
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du = e^x,d x
Isso transforma o numerador e^x,d x em du e o denominador em raiz1-u^2. Assim,
integral e^xraiz1-e^2x,d x = integral duraiz1-u^2

Passo 3

Reconhecemos a integral padrão
integral duraiz1-u^2 = arcsin(u) + C

Passo 4

Voltando à variável x, temos
arcsinl(ur) + C = arcsinl(e^xr) + C
Observação: para que o resultado seja real, precisamos de e^xin[-1,1], ou seja x<=0, mas formalmente essa é a antiderivada.

Resposta

arcsinl(e^xr) + C

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