Calcule: integral0^1 arctg x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de . O conteúdo é troca de variável (substituição simples) em cálculo integral e vamos precisar usar a substituição que transforma arctg x1+x^2,dx em dx/(1+x^2).

Passo 2

Vamos fazer a substituição . A gente sabe que t=arctg x, ou seja, dt=11+x^2,dx. Então o elemento dx= (1+x^2),dt vira simplesmente dx1+x^2 e o numerador vira dt. Precisamos também trocar os limites de integração. Quando arctg x, temos . Quando t, temos .

Passo 3

Substituindo tudo, a integral original fica

Agora é só integrar integral0^1arctg x1+x^2,dx = integral0^pi/4 t,dt em relação a t. A primitiva de t é t. Avaliar nos limites de 0 a t^2/2
pi/4

Resposta

pi^232

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