Usando a fórmula de Rodrigues, determine uma solução explícita para a equação de Legendre
Passo 1
Estamos diante da equação de Legendre
o conteúdo principal é a equação de Legendre, e vamos usar a fórmula de Rodrigues para obter um polinômio que satisfaça essa equação.
Passo 2
Para encontrar soluções polinomiais, definimos um inteiro
tal que
. Resolvendo
temos as raízes
ou
, mas só o inteiro não-negativo gera polinômios de Legendre. Logo, escolhemos
.
Passo 3
A fórmula de Rodrigues para o polinômio de Legendre
é
$$
P_n(x)=
P_n(x)=
\frac{1}{2n,n!},\frac{dn}{dxn}\bigl[(x2-1)^n\bigr].
$$
Aqui vamos aplicar para .
Aqui vamos aplicar para
Passo 4
Primeiro, expandimos e derivamos:
Passo 5
Agora aplicamos a constante de Rodrigues para
:
Passo 6
Portanto, uma solução explícita (a função de Legendre de grau 3) para a equação dada é
Resposta
y(x)=\frac{5x^3-3x}{2}