Usando a fórmula de Rodrigues, determine uma solução explícita para a equação de Legendre
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+12 y=0, x in(-1,1)

Passo 1

Estamos diante da equação de Legendre
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 12,y = 0, xin(-1,1),
o conteúdo principal é a equação de Legendre, e vamos usar a fórmula de Rodrigues para obter um polinômio que satisfaça essa equação.

Passo 2

Para encontrar soluções polinomiais, definimos um inteiro n tal que n(n+1)=12. Resolvendo
n^2 + n - 12 = 0
temos as raízes n=3 ou n=-4, mas só o inteiro não-negativo gera polinômios de Legendre. Logo, escolhemos n=3.

Passo 3

A fórmula de Rodrigues para o polinômio de Legendre Pn(x) é
$$
P_n(x)=
\frac{1}{2n,n!},\frac{dn}{dxn}\bigl[(x2-1)^n\bigr].
$$
Aqui vamos aplicar para Pn(x)= 12^n,n!,d^ndx^nl[(x^2-1)^nr] .

Passo 4

Primeiro, expandimos e derivamos:
(x^2-1)^3 = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1,
ddx(x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1)=6x^5 -12x^3 +6x,
d^2dx^2(6x^5 -12x^3 +6x)=30x^4 -36x^2 +6,
d^3dx^3(30x^4 -36x^2 +6)=120x^3 -72x

Passo 5

Agora aplicamos a constante de Rodrigues para n=3:
P3(x) =12^3,3!l(120x^3 -72xr) =18cdot6(120x^3 -72x) =120x^3 -72x48 =5x^3 -3x2

Passo 6

Portanto, uma solução explícita (a função de Legendre de grau 3) para a equação dada é

Resposta

y(x)=\frac{5x^3-3x}{2}

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