Considere a equação do Bessel de ordem zero
pi^4 y^prime prime+2 y^prime+2^3 y=0
b) Encontre os primeiros termos numa expansão em série de potências y(x)=sumk=0^infty ak x^k em torno de x=0 para a equação do Bessel de ordem zero. (2.0 Pts)

Passo 1

A equação dada é pi^4y''+2y'+2^3y=0. O objetivo é encontrar uma solução em série de potências
y(x)=sumk=0^infty ak x^k
em torno de x=0. Vamos precisar escrever y,y',y'' nessa forma e impor que a soma resultante seja zero para todo x.

Passo 2

Começamos escrevendo as derivadas da série:
y(x)=sumk=0^infty ak x^k,
y'(x)=sumk=1^infty k,ak x^k-1,
y''(x)=sumk=2^infty k(k-1),ak x^k-2

Passo 3

Substituímos na equação pi^4y''+2y'+8y=0 e reindexamos para ter potências x^m alinhadas:
pi^4summ=0^infty (m+2)(m+1)am+2x^m+2summ=0^infty(m+1)am+1x^m+8summ=0^infty am x^m=0
Logo, para todo m>=0

Passo 4

Da soma acima obtemos a relação de recorrência entre coeficientes:
pi^4(m+2)(m+1)am+2+2(m+1)am+1+8am=0
implies am+2=-2(m+1)am+1+8ampi^4(m+2)(m+1)

Passo 5

Agora calculamos os primeiros coeficientes em função de a0 e a1:
Para m=0:
a2=-2cdot1,a1+8a0pi^4cdot2cdot1=-a1+4a0pi^4

Passo 6

Podemos então escrever os primeiros termos da série:
y(x)=a0+a1x+a2x^2+O(x^3)=a0+a1x-a1+4a0pi^4x^2+O(x^3)

Resposta

y(x)=a0+a1x-a1+4a0pi^4x^2+O(x^3)

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