Calcule integral0^1 d x integralx^raiz2 sen yy d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=integral0^1!dxintegralx^raiz2sin yy,dy
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e o reconhecimento da função integral seno
Si(t)=integral0^tsin uu,du.

Passo 2

Descrevemos a região de integração em (x,y):
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x<= y<=raiz2
Invertendo a ordem, y varia de 0 até raiz2 e, para cada y, x varia de 0 até min(y,1).

Passo 3

Com isso,
I =integraly=0^raiz2gl(integralx=0^min(y,1)dxgr)sin yy,dy =integral0^1ysin yy,dy+integral1^raiz21cdotsin yy,dy =integral0^1sin y,dy+integral1^raiz2sin yy,dy

Passo 4

A primeira parte é elementar:
integral0^1sin y,dy =[-cos y]0^1 =1-cos(1)
A segunda parte fica em termos da função Si:
integral1^raiz2sin yy,dy =Si(raiz2)-Si(1)

Resposta

I =1-cos(1)+integral1^raiz2sin yy,dy ;=; 1-cos(1)+Si(raiz2)-Si(1)

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