Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido definido em coordenadas esféricas pela integral
Aqui usamos o elemento de volume em coordenadas esféricas
e veremos que o domínio é a porção da esfera de raio
no primeiro octante (onde
).
Passo 2
Vamos identificar o domínio:
– significa “dentro da esfera de raio
”;
– restringe a colatitude à região acima do plano
(isto é,
);
– restringe o azimute ao primeiro quadrante no plano
(isto é,
).
Logo, o sólido é exatamente o “oitavo” da bola de raio no espaço.
–
–
–
Logo, o sólido é exatamente o “oitavo” da bola de raio
Passo 3
Esboço do sólido:
Imagine uma esfera de raio . Corte-a pelos planos coordenados
,
e
. O volume pedido é a parte onde
,
e
, ou seja, um octante da esfera.
Imagine uma esfera de raio
Passo 4
Agora calculamos a integral iteradamente:
- Integramos em
:
- Integramos em
:
- Integramos em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O sólido é o octante da bola de raio
no primeiro octante (
), e seu volume é