Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
integral0^pi / 2 integral0^r / 2 integral0^1 rho^2 sen phi d rho d theta d phi

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido definido em coordenadas esféricas pela integral
integralphi=0^pi/2integraltheta=0^pi/2integralrho=0^1rho^2sinphi;drho,dtheta,dphi
Aqui usamos o elemento de volume em coordenadas esféricas
dV=rho^2sinphi;drho,dtheta,dphi,
e veremos que o domínio é a porção da esfera de raio 1 no primeiro octante (onde x,y,z>=0).

Passo 2

Vamos identificar o domínio:
0<=rho<=1 significa “dentro da esfera de raio 1”;
0<=phi<=pi/2 restringe a colatitude à região acima do plano xy (isto é, z>=0);
0<=theta<=pi/2 restringe o azimute ao primeiro quadrante no plano xy (isto é, x>=0,y>=0).
Logo, o sólido é exatamente o “oitavo” da bola de raio 1 no espaço.

Passo 3

Esboço do sólido:
Imagine uma esfera de raio 1. Corte-a pelos planos coordenados xy, yz e zx. O volume pedido é a parte onde x>=0, y>=0 e z>=0, ou seja, um octante da esfera.

Passo 4

Agora calculamos a integral iteradamente:
  1. Integramos em rho:
integral0^1rho^2,drho =[rho^33]0^1 =13
  1. Integramos em theta:
integral0^pi/2dtheta =pi2
  1. Integramos em phi:
integral0^pi/2sinphi,dphi =l[-cosphir]0^pi/2 =1
Multiplicando tudo:
V =13;times;pi2;times;1 =pi6

Resposta

O sólido é o octante da bola de raio 1 no primeiro octante ( x,y,z>=0), e seu volume é
boxedpi6

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