(1.5) Determine se os limites abaixo existem ou não:
lim (x, y) (0,0) x arctan (1x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)x;arctanl(1x^2+y^2r)
Estamos em duas variáveis, e como x^2+y^2to0 faz 1x^2+y^2to+infty, a arctan tende a pi2. Para resolver, vamos usar o fato de que arctan é limitada e aplicar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze”).

Passo 2

Observamos que para todo argumento real t vale
l|arctan(t)r|<=pi2
Em particular, para t=1x^2+y^2 temos
gl|arctanl(tfrac1x^2+y^2r)gr|<=pi2

Passo 3

Daí
l|x,arctan(tfrac1x^2+y^2)r| <= |x|;pi2 <= pi2raizx^2+y^2
Seja r=raizx^2+y^2. Então
l|x,arctan(tfrac1x^2+y^2)r|<= pi2,r

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0) temos rto0, logo pi2,rto0. Pelo Teorema do Confronto,
lim(x,y)to(0,0)x,arctanl(tfrac1x^2+y^2r) =0

Resposta

O limite existe e vale 0.

Exercícios relacionados