Calcule.
integral0^+infty 1s^2+x^2 d s ; s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty 1s^2+x^2,ds, onde x>0. O conteúdo envolve integrals impróprias e a antiderivada de 1/(s^2+a^2).

Passo 2

Precisamos tratar a integral como um limite: definimos I=limRtoinfty integral0^R 1s^2+x^2,ds. Como 1/(s^2+x^2)sim1/s^2 quando stoinfty, a integral converge.

Passo 3

Lembrando a fórmula de antiderivada: integral dss^2+a^2=1aarctanl(tfracsar)+C. Aqui temos a=x, logo
I=limRtoinftygl[1xarctanl(tfracsxr)gr]s=0^s=R =1xlimRtoinftyl(arctan(tfracRx)-0r) Como arctan(infty)=pi/2, resulta
I=1xcdotpi2=pi2x

Resposta

pi2x

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