Esboce as curvas(com suas orientaçöes)
Z(t)=r(cos t+j sen t) r>0 e -pi4 ot t ot pi.

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos a curva no plano complexo dada pela parametrização Z(t)=r(cos t + jsin t), com r>0 e -tfracpi4 <= t <= pi. O conteúdo é representação de números complexos em coordenadas polares, e precisaremos usar a relação entre cos t,sin t e um arco de circunferência de raio r.

Passo 2

Note que Z(t)=r(cos t + jsin t) é exatamente a parametrização de um arco de círculo de raio r centrado na origem. Em coordenadas polares, isso corresponde a pontos cuja distância à origem é r e cujo ângulo varia com t.
Vamos identificar os pontos iniciais e finais do arco. Para t=-tfracpi4,
Zl(-tfracpi4r)=rl(cos(-tfracpi4)+jsin(-tfracpi4)r)=rl(tfracraiz22-jtfracraiz22r)
Para t=pi,
Z(pi)=r(cospi+jsinpi)=r(-1+ jcdot0)=-r
Concluímos que o arco vai do ponto r(tfracraiz22,-tfracraiz22) até (-r,0). À medida que t cresce de -tfracpi4 até pi, o ângulo também cresce, de modo que a orientação é anti-horária (sentido positivo).

Passo 3

Para esboçar, marcamos no plano complexo os pontos principais:
  • t=-tfracpi4: l(tfracrraiz22,-tfracrraiz22r).
  • t=0: (r,0).
  • t=tfracpi2: (0,r).
  • t=pi: (-r,0).
    Em seguida, ligamos esses pontos por um arco de circunferência de raio r, seguindo o sentido anti-horário.

Resposta

Arco de circunferência de raio r, centrado na origem, que vai de t=-tfracpi4 até t=pi, começando em l(rtfracraiz22,-rtfracraiz22r), passando por (r,0), (0,r) e terminando em (-r,0), com orientação anti-horária.

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