Resolva, utilizando séries de potências em torno da origem, os problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
A tarefa é resolver o EDO y’’ + 3 x y’ – y = 0 com y(0)=2 e y’(0)=0 usando séries de potência em torno de x=0. Vamos precisar supor uma solução em série, obter a relação de recorrência dos coeficientes e usar as condições iniciais.
Passo 2
Supondo a solução em série
então derivando termo a termo temos
Passo 3
Substituindo na equação y’’ + 3 x y’ – y = 0 obtemos
que implica, para todo n≥0,
e portanto a relação de recorrência
Passo 4
Pelas condições iniciais temos
Como a_1=0 e a recorrência liga a_{n+2} a a_n, todos os coeficientes ímpares valem zero: a_{2k+1}=0.
Passo 5
Para os termos pares (n=2k) a recorrência fica
Calculando alguns termos:
Passo 6
Finalmente, a solução em série em torno da origem é
Resposta
y(x)=2 + x^2 - \frac{5}{12}x^4 + \frac{11}{72}x^6 - \frac{187}{4032}x^8 + \cdots