Resolva, utilizando séries de potências em torno da origem, os problemas de valor inicial a seguir.
ly^prime prime+3 x y^prime-y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=0

Passo 1

A tarefa é resolver o EDO y’’ + 3 x y’ – y = 0 com y(0)=2 e y’(0)=0 usando séries de potência em torno de x=0. Vamos precisar supor uma solução em série, obter a relação de recorrência dos coeficientes e usar as condições iniciais.

Passo 2

Supondo a solução em série
y(x) = sumn=0^infty an x^n,
então derivando termo a termo temos
y'(x) = sumn=0^infty (n+1)an+1x^n,
y''(x) = sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo na equação y’’ + 3 x y’ – y = 0 obtemos
sumn=0^ ,l[(n+2)(n+1)an+2 + 3n,an - anr]x^n = 0,
que implica, para todo n≥0,
(n+2)(n+1)an+2 + (3n - 1)an = 0
e portanto a relação de recorrência
an+2 = -3n - 1(n+2)(n+1),an

Passo 4

Pelas condições iniciais temos
a0 = y(0) = 2, a1 = y'(0) = 0
Como a_1=0 e a recorrência liga a_{n+2} a a_n, todos os coeficientes ímpares valem zero: a_{2k+1}=0.

Passo 5

Para os termos pares (n=2k) a recorrência fica
a2k+2 = -6k - 1(2k+2)(2k+1),a2k
Calculando alguns termos:
a2 = 1, a4 = -512, a6 = 1172, a8 = -1874032, dots

Passo 6

Finalmente, a solução em série em torno da origem é
y(x) = sumk=0^infty a2k x^2k = 2 + x^2 - 512x^4 + 1172x^6 - 1874032x^8 + cdots

Resposta

y(x)=2 + x^2 - \frac{5}{12}x^4 + \frac{11}{72}x^6 - \frac{187}{4032}x^8 + \cdots

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