Calcule integral0^+infty e^-x^2 d x.
Sugestão: Faça I=integral0^+infty e^-x^2 d x e use coordenadas polares para determinar I^2. Resp.: raizpi2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria I=integral0^+inftye^-x^2,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias e o truque de coordenadas polares para avaliar I^2. Vamos usar essas ideias passo a passo.

Passo 2

Definimos I=integral0^+inftye^-x^2,dx e, para aproveitar coordenadas polares, consideramos o quadrado desta integral em duas variáveis independentes:
I^2=l(integral0^+inftye^-x^2,dxr)l(integral0^+inftye^-y^2,dyr)=integral0^+inftyintegral0^+inftye^-(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

Agora fazemos a mudança para coordenadas polares, onde x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano é r. Como estamos integrando no primeiro quadrante, temos
rin[0,infty), thetain[0,tfracpi2]
Então
I^2=integral0^pi/2integral0^inftye^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Podemos separar a integral em parte radial e parte angular:
I^2=l(integral0^pi/2dthetar)l(integral0^inftye^-r^2r,drr)
A integral angular é
integral0^pi/2dtheta=pi2,
e a integral radial faz a substituição u=r^2, du=2r,dr:
integral0^inftye^-r^2r,dr=12integral0^inftye^-u,du=12
Logo
I^2=pi2cdot12=pi4

Passo 5

Como I>0, temos
I=raizI^2=raizpi4=raizpi2

Resposta

raizpi2

Exercícios relacionados