Considere a integral integralR integral e^y-xy+x d x d y, em que R é a região do plano x y delimitada e compreendida entre as retas x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. Faça o que se pede:
© Utilize o Teorema da Mudança de Variáveis para calcular a integral. Resp.: 3/4( e-e^-1)

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^y-xy+x,dx,dy na região R limitada por x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e vamos usar a transformação u=x+y, v=y-x.

Passo 2

Definimos a transformação de variáveis
u = x + y, v = y - x
Invertendo, temos
x = tfracu - v2, y = tfracu + v2
O jacobiano em valor absoluto é
|partial(x,y)partial(u,v)| = 12

Passo 3

Agora descrevemos a região em termos de (u,v).
Como x+y= u, as retas x+y=1 e x+y=2 viram u=1 e u=2.
Além disso, x>=0 implica u-v>=0 ou v<= u, e y>=0 implica u+v>=0 ou v>= -u.
Logo
1 <= u <= 2, -u <= v <= u

Passo 4

Reescrevendo a integral em (u,v), temos
integral duplaR e^y-xy+x,dx,dy = integralu=1^2 integralv=-u^u e^vu cdot 12 ,dv,du

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna:
integralv=-u^u e^vu,dv = l[u,e^vur]v=-u^v=u = ul(e^1 - e^-1r)
Assim, com o fator tfrac12, fica
integralv=-u^u e^vu cdot tfrac12,dv = tfracu2l(e - e^-1r)

Passo 6

Agora integramos em u:
integralu=1^2 tfracu2l(e - e^-1r),du = tfrace - e^-12 integral1^2 u,du = tfrace - e^-12 cdot l[tfracu^22r]1^2 = tfrace - e^-12 cdot tfrac4 - 12 = tfrac34,(e - e^-1)

Resposta

tfrac34(e - e^-1)

Exercícios relacionados