Calcule integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y

Passo 1

A integral que queremos calcular é integral0^1 integral2y^2 4e^x^2,dx,dy. O conteúdo principal aqui é a troca de ordem de integração (teorema de Fubini) para facilitar o cálculo, e depois uma integração por substituição simples.

Passo 2

O primeiro passo prático é descrever a região de integração R no plano (x,y):
Temos
0 <= y <= 1, 2y <= x <= 2
Para inverter a ordem, vemos que x vai de 0 até 2 e, para cada x fixo, a condição 2y <= x com y>=0
0 <= y <= x2
Logo podemos escrever
integral duplaR4e^x^2,dx,dy = integralx=0^2integraly=0^x/24e^x^2,dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y:
integraly=0^x/24e^x^2,dy = 4e^x^2cdot l[yr]0^x/2 = 4e^x^2cdot x2 = 2x,e^x^2
Assim a integral dupla vira
integral0^22x,e^x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral0^22x,e^x^2,dx, usamos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx
Quando x=0, u=0; quando x=2, u=4. A integral passa a ser
integralu=0^4e^u,du = e^u|0^4 = e^4-e^0 = e^4-1

Resposta

e^4 - 1

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